在平面直角坐标系中，对于已知的点，，过点分别作轴和轴的垂线，，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，则点到点的“特征距离”为，若，则点到点的“特征距离”为．

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，对于已知的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的“特征距离”为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的“特征距离”为 $\text{[math]}$ ．

(1) 已知点 $\text{[math]}$

①点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的“特征距离”为；

②点 $\text{[math]}$ 在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，若点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的“特征距离”为1，则点 $\text{[math]}$ 的坐标为；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为平面内的动点，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 按逆时针方向排列），记线段 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的“特征距离”为 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的最大值和最小值，以及相应的 $\text{[math]}$ 点的坐标．

【考点】

坐标与图形性质; 正方形的性质;

【答案】

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解答题困难

1. 将平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的一些点分为两类，满足每类至少包含两个点．对于同一类中的任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 中的最大值为点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的“联络量”，记作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将每类能得到的最大联络量作为该类的“代表量”，定义代表量中的最大值为这种分类的“类筹”．

如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的横、纵坐标都是整数．

(1) ①点A，C，D，E，O，与点B“联络量”是2的有；

②点M在平面上运动，已知将点D，E，M分在同一类时“代表量”是5，则动点M所在区域的面积为　　　　；

(2) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 上的任一点 $\text{[math]}$ 均满足将点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分为两类的最小“类筹”大于4，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 正方形 $\text{[math]}$ 的边长为4， $\text{[math]}$ 交于点E．在点A处建立平面直角坐标系如图所示．

(1) 如图1，双曲线 $\text{[math]}$ 过点E，求点 $\text{[math]}$ 的坐标和反比例函数的解析式；

(2) 如图2，将正方形 $\text{[math]}$ 向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，是经过点E的双曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点P，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，求m的值．

解答题普通

3. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P $\text{[math]}$ ，给出如下定义：当点Q $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．

(1) 在 $\text{[math]}$ （2，1）， $\text{[math]}$ （-4，-1）， $\text{[math]}$ （8，2）中，点P的等积点是．

(2) 点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．

(3) 已知点 $\text{[math]}$ 和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．

解答题普通