对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“t跃点”

1. 对于函数 $\text{[math]}$ 的导函数 $\text{[math]}$ ，若在其定义域内存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，则称 $\text{[math]}$ 是“跃点”函数，并称 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的“t跃点”

(1) 若m为实数，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 跃点”函数，求m的取值范围；

(2) 若a为非零实数，函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是“2跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“2跃点”，求a的值：

(3) 若b为实数，函数 $\text{[math]}$ 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求b的取值范围.

【考点】

利用导数研究函数最大（小）值; 含三角函数的复合函数的值域与最值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难

2. 函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的最大值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数m的取值范围．

解答题困难

3. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第 $\text{[math]}$ 层球数比第 $\text{[math]}$ 层球数多 $\text{[math]}$ ，设各层球数构成一个数列 $\text{[math]}$ .

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，对于 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .

解答题困难