【问题背景】如图，在中，，和的平分线和相交于点 G．【问题探究】

1. 【问题背景】

如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 相交于点 G．

【问题探究】

(1) $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ；

(2) 过G作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 F，交 $\text{[math]}$ 于点 H，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形的外角性质; 角平分线的概念; 全等三角形中对应边的关系; 直角三角形的两锐角互余;

【答案】

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实践探究题普通

(1) 【问题背景】小强在学习完平行线一节后，想利用平行线的知识证明“三角形的内角和是180°”；．如图1，是小强为证明三角形内角和是180°所采取的构图方法：过△ABC的顶点A作EF∥BC ．

请完成：利用小强的构图，说明∠BAC+∠B+∠C＝180°的理由；

(2) 【尝试应用】如图2，直线l₁与直线l₂相交于点O ，夹角为α，点B在点O右侧，点C在l₁上方，点A在O点左侧运动，点E在射线CO上运动（不与C ， O重合）；

请完成：当α＝60°时，AG平分∠EAB ， EF平分∠AEC交直线AG于点G ，求∠AGE的度数；

(3) 【拓展创新】如图3，点E在线段CO上运动（不与C ， O重合），∠AEF＝n∠AEC ， ∠EAG＝m∠EAB ， m+2n＝1，EF交AG于点G；

请完成：当n为何值时，∠AGE不随∠EAB的变化而变化，并用含α的代数式表示∠AGE的度数（写出解答过程）．

实践探究题困难

2. 【探究】如图①， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 　　度， $\text{[math]}$ 　　度．

（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．

【拓展】如图②， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的平分线交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且平行于 $\text{[math]}$ ，分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）

实践探究题普通

3. 在锐角 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 放置在 $\text{[math]}$ 边上，使 $\text{[math]}$ 的两边分别与边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 点重合，点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合）.设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 【发现】

若 $\text{[math]}$ .

如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ °；

如图2，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均不与点 $\text{[math]}$ 重合时， $\text{[math]}$ °

图1 图2

(2) 【探究】

判断 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间满足怎样的数量关系？并写出你的理由.

实践探究题困难