如图为三棱锥的高，点在三角形内，为中点（图中未画），，平面.

1. 如图 $\text{[math]}$ 为三棱锥 $\text{[math]}$ 的高，点 $\text{[math]}$ 在三角形 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点（图中未画）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小.

【考点】

直线与平面所成的角; 与二面角有关的立体几何综合题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知 $\text{[math]}$ 是棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的四个顶点到平面 $\text{[math]}$ 的距离所构成的集合为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 中元素的个数为 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶等距平面， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶等距集.

(1) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的1阶等距平面且1阶等距集为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的所有可能值以及相应的 $\text{[math]}$ 的个数；

(2) 已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的4阶等距平面，且点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 分别位于 $\text{[math]}$ 的两侧.若 $\text{[math]}$ 的4阶等距集为 $\text{[math]}$ ，其中点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题困难

2. 如图，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内， $\text{[math]}$ 是三棱锥 $\text{[math]}$ 的高，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

(1) 证明：点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上.

(2) 点 $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的一点（不含端点），求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角余弦值的最大值.

解答题普通

3. 如图，在五面体 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求棱 $\text{[math]}$ 的长度；

(2) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.

解答题普通