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1. 主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图

【阅读理解】

任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC ， 仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点．

操作：如图2，连接BE、CD交于点P ， 连接AP交DE于点M ， 延长AP交BC于点N ， 则M、N分别为DE、BC的中点．

理由：由DE∥BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN ， 所以 ， ， 所以 ， 同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP ， 可得 ， ， 所以 ， 所以 ， 则BN＝CN ， DM＝EM ， 即M、N分别为DE、BC的中点．

【实践操作】

请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

(1) 如图3，l1∥l2 ， 点E、F在直线l2上．

①作线段EF的中点；

②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P ， 使得PF＝EF；
(2) 小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍（k为正整数）的线段．如图4，l1∥l2 ， 已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3＝P3P4＝P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
(3) 【探索发现】

请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹．

如图5，DE是△ABC的中位线．请在线段EC上作出一点Q ， 使得QECE（要求用两种方法）．
【考点】
相似三角形的判定与性质;
【答案】

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实践探究题 困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为“双等腰四边形”。

(1) 如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，连结BD，E是BD的中点，连结AE，CE.

①试判断四边形ABCE是否为“双等腰四边形”，并说明理由.

②若∠AEC=90°，求∠ABC的度数.
(2) 如图②，E是矩形ABCD内一点，F是边CD上一点，四边形AEFD是“双等腰四边形”，且AD=DE.延长AE交BC于点G，连结FG.若AD=5，求AB的长。
实践探究题 困难
2. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上 ， 且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置 ， 矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点 ， 射线OH与射线AD相交于点（点 ， 不重合），射线OG与射线BC相交于点（点Q，C不重合），观测DP，CQ的长度.

(1) 如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ=.
(2) 小丽滑动矩形EFGH，使得О恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立.请说明理由.
(3) 经过数次操作，小丽猜想，设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.
实践探究题 困难
3.
(1) 问题背景：如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥BC，求证：＝ ．
(2) 尝试应用：如图2，在▱ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值．
(3) 拓展创新：如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值．
实践探究题 困难