如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，．

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1. 如图1， $\text{[math]}$ 为半圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 切半圆于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，交半圆于点 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求： $\text{[math]}$ 的值

(2) 如图2，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的平行线分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①求： $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式及其定义域

②延长 $\text{[math]}$ 交半圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 为何值时 $\text{[math]}$ 的值最大时，并求出最大值

【考点】

圆周角定理; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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解答题困难

1. 【问题提出】

如图1， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相离，过圆心 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点（ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间）．我们把点 $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“远点”，把 $\text{[math]}$ 的值称为 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“远望数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 画垂直于 $\text{[math]}$ 轴的直线 $\text{[math]}$ ，则半径为1的 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“远点”坐标是______，直线 $\text{[math]}$ 向下平移______个单位长度后与 $\text{[math]}$ 相切．

（2）在（1）的条件下求 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“远望数”．

【拓展应用】

（3）如图3，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相离， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“远点”．且 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的“远望数”是 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的函数表达式．

解答题困难

2. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 互余，点D是 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为直径作 $\text{[math]}$ 切 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，点F是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．

解答题普通

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的切线交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

解答题普通