如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．

1. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．

(1) 求证：AC平分∠DAB；

(2) 若∠B=60°，CD=2 $\text{[math]}$ ，求AE的长．

【考点】

圆周角定理; 切线的性质; 相似三角形的判定与性质; 解直角三角形;

【答案】

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综合题普通

1. 如图①，AB为半圆O的直径，C为BA的延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD的延长线于点E，交半圆于点F，已知 $\text{[math]}$ ，如图②，连结AF，P为线段AF上一点，过点P 作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P作PH⊥AB于点H.设PH=x，MN=y.

(1) 求CE的长和y关于x的函数表达式.

(2) 当 PH<PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a的值。

综合题困难

2. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在射线BC上运动， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的面积.

(2) 如图2，连结BO并延长，分别交AC，AP于点D，E，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求BP的长.

(3) 当圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的内部时，求BP的取值范围.

综合题困难

3. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且CF是⊙O的切线．

(1) 求证：∠DCF＝∠CAD．

(2) 探究线段CF，FD，FA的数量关系并说明理由；

(3) 若cosB＝ $\text{[math]}$ ， AD＝2，求FD的长．

综合题普通