已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．

1. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且当 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恰为 $\text{[math]}$ 中点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 经过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点时，求 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 轴时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 当线段 $\text{[math]}$ 的中点的纵坐标为 $\text{[math]}$ 时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．

解答题普通

2. 如图，已知椭圆 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的上顶点，过 $\text{[math]}$ 的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 并延长之，分别交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，则动直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．

解答题困难