在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．

1. 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；

(3) 若点M的横坐标为 $\text{[math]}$ ，直线l：y=kx+ $\text{[math]}$ 与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当 $\text{[math]}$ ≤k≤2时，|AB|²+|DE|²的最小值．

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知与圆P： $\text{[math]}$ 内切，且与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C ，直线l与曲线C交于A ， B两点，O为坐标原点，延长AO ， BO分别与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于点M ， N ．

(1) 求曲线C的方程；

(2) 过点A作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， O ， B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，抛物线在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 点处的切线为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，当直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为45°时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于不同的 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若垂直于直线 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于不同的 $\text{[math]}$ 两点，且以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过 $\text{[math]}$ 两点，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率．

解答题困难