已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C ，直线l与曲线C交于A ， B两点，O为坐标原点，延长AO ， BO分别与直线：相交于点M ， N ．

1. 已知与圆P： $\text{[math]}$ 内切，且与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C ，直线l与曲线C交于A ， B两点，O为坐标原点，延长AO ， BO分别与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相交于点M ， N ．

(1) 求曲线C的方程；

(2) 过点A作 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， O ， B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．

【考点】

抛物线的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于不同的 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为坐标原点．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若垂直于直线 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于不同的 $\text{[math]}$ 两点，且以 $\text{[math]}$ 为直径的圆过 $\text{[math]}$ 两点，求直线 $\text{[math]}$ 的斜率．

解答题困难

2. 设抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 到圆 $\text{[math]}$ 上一点的距离的最大值为6.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程.

(2) 设 $\text{[math]}$ 是坐标原点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别相交于 $\text{[math]}$ 两点（异于点 $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，试判断直线 $\text{[math]}$ 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.

解答题困难

3. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴的正半轴上，顶点是坐标原点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一个交点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴两侧，直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切，线段 $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 分别与圆 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) $\text{[math]}$ 的面积是否存在最大值？若存在，求使 $\text{[math]}$ 的面积取得最大值的直线 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由.

解答题普通