北京时间2024年5月8日，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施减速制动，进入近月点约、周期的椭圆环月轨道Ⅰ；之后探测器在近月点进行第二次减速制动，进入周期的椭圆环月轨道Ⅱ运行；最后探测器在近月点进行第三次减速制动，进入周期为半径为的圆形环月轨道Ⅲ运行20天后开展下降着陆任务。已知引力常量为，月球半径为，求：（1）轨道Ⅰ的半长轴与轨道Ⅱ的半长轴之比；（2）月球的质量及月球表面的重力加速度。

1. 北京时间2024年5月8日，“嫦娥六号”月球探测器开启主发动机实施减速制动，进入近月点约 $\text{[math]}$ 、周期 $\text{[math]}$ 的椭圆环月轨道Ⅰ；之后探测器在近月点进行第二次减速制动，进入周期 $\text{[math]}$ 的椭圆环月轨道Ⅱ运行；最后探测器在近月点进行第三次减速制动，进入周期为 $\text{[math]}$ 半径为 $\text{[math]}$ 的圆形环月轨道Ⅲ运行20天后开展下降着陆任务。已知引力常量为 $\text{[math]}$ ，月球半径为 $\text{[math]}$ ，求：

（1）轨道Ⅰ的半长轴 $\text{[math]}$ 与轨道Ⅱ的半长轴 $\text{[math]}$ 之比；

（2）月球的质量及月球表面的重力加速度。

【考点】

开普勒定律; 万有引力定律;

【答案】

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解答题普通

1. 为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船总质量为m₁ ，在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m₂ ，已知万有引力恒量为G。求：

（1）X星球的质量；

（2）登陆舱在半径为r₂的轨道上做圆周运动的周期。

解答题容易

2. 如图所示，“好奇号”火星探测器于 2012 年成功登陆火星表面。在登陆火星前，“好奇号”在距火星表面高度为h的轨道上绕火星做匀速圆周运动，周期为T。已知火星的半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探测器的引力作用，求：

（1）火星的质量；

（2）火星表面的重力加速度。

解答题容易

3. 2023年5月，我国神舟十六号宇宙飞船成功发射，三位宇航员与神舟十五号的三位宇航员在中国空间站成功会师。空间站绕地球运行视为匀速圆周运动，运行周期为T。若不考虑地球自转，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力常量为G。求：

（1）地球的平均密度 $\text{[math]}$ ；

（2）空间站距离地面的高度h。

解答题容易