我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．

1. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： $\text{[math]}$ ，则称分式 $\text{[math]}$ 是“巧分式”， $\text{[math]}$ 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．

(1) 下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

(2) 若分式 $\text{[math]}$ （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 $\text{[math]}$ ，求m的值：

(3) 若分式 $\text{[math]}$ 的“巧整式”为 $\text{[math]}$ ．

①求整式A．

② $\text{[math]}$ 是“巧分式”吗？

【考点】

因式分解的应用; 最简分式的概念; 分式的乘除法; 约分;

【答案】

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解答题普通

1. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：

$\text{[math]}$ ．

(1) 如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为；

(2) 若解释因式分解 $\text{[math]}$ ，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；

(3) 若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为 $\text{[math]}$ ，则m的值为，将此多项式分解因式为．

(4) 有3张A类，4张B类，5张C类卡片。从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为．

解答题普通

2. 下面是某同学对多项式(x²－2x)(x²－2x+2)+1进行因式分解的过程：

解：设x²－2x＝y

原式＝y (y+2)+1 （第一步）

＝y²+2y+1 （第二步）

＝(y+1)²（第三步）

＝(x²－2x+1)²（第四步）

请问：

（1）该同学因式分解的结果是否彻底？　　（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为；

（2）请你模仿上述方法，对多项式(x²－4x+2)(x²－4x+6)+4进行因式分解．

解答题普通

3. 阅读：多项式 $\text{[math]}$ 可以分解因式得 $\text{[math]}$ ，故方程 $\text{[math]}$ 可以变形为 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．通过观察多项式的因式与方程的解的关系，发现 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是该方程的解， $\text{[math]}$ 是对应多项式的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过对其对应方程的解来确定其中的因式．

运用：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为整数，试求出使 $\text{[math]}$ 有公共因式的全部 $\text{[math]}$ ，并写出相应的公共因式．

解答题困难