2024年4月25日，我国发射神舟十八号载人飞船，从天和核心舱迎接神舟十七号乘组返回。已知天和核心舱的轨道半径是地球半径的n倍，地球第一宇宙速度为，不考虑地球自转和空气阻力的影响，求：（1）天和核心舱的在轨环绕速度；（2）若取距离中心天体无穷远处的势能为零，环绕中心天体运行的航天器在轨道上的势能可以表示为，其中G为引力常量，M为中心天体质量，m为环绕航天器的质量，r为航天器环绕时的轨道半径。现将质量为的神舟十八号载人飞船由地面送上天和核心舱的轨道与之对接，至少要对飞船做多少功?

1. 2023年6月15日，我国航天事业完成“一箭40星”伟大壮举。其中一颗质量为m的人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，卫星到地面高度h，已知地球半径为R，万有引力常量为G，求：地球的质量M。

综合题容易

2. 已知地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，一颗人造地球卫星处在距离地球表面高度为h的圆轨道上，试求：

（1）该卫星做匀速圆周运动的线速度大小v；

（2）该卫星的运动周期T。

解答题容易

3. 2020年11月24日凌晨4点30分，在海南文昌航天发射场，长征五号遥五运载火箭全速托举中国探月工程嫦娥五号探测器划过夜空，迈出中国首次地外天体采样返回的第一步。发射升空后，嫦娥五号轨道器将携带着陆器、上升器以及返回器完成地月转移、中途修正和近月制动。进入环月轨道后，轨道器与着陆上升组合体分离，携带返回器留轨运动，着陆上升组合体变轨后在贴近月球表面的圆形轨道上运行数圈后安全着陆。已知月球的半径为R，万有引力常量为G，着陆上升组合体在贴近月球表面的圆形轨道上运行的周期为T。求：

（1）月球的质量M；

（2）轨道器在距离月球表面高为h的圆形轨道上运行的线速度v。

解答题容易

1. 中国空间站的机械臂具有七个自由度，类似于人类手臂的灵活性，可实现抓取、拖拽、爬行、对接等功能。如图所示，在长为d的机械臂作用下，微型卫星、空间站、地球位于同一直线，伸直的机械臂沿该直线方向抓住微型卫星，微型卫星与空间站一起做角速度为 $\text{[math]}$ 的匀速圆周运动。已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，微型卫星质量为m，空间站轨道半径为r，求：

（1）在轨运行时，空间站的线速度 $\text{[math]}$ 和微型卫星的线速度 $\text{[math]}$ 之比；

（2）机械臂对微型卫星的作用力大小F；（忽略空间站与卫星之间的万有引力以及机械臂对空间站的作用力，用m，g，R，r，d表示）

（3）物体在引力场中具有的势能叫做引力势能。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能为 $\text{[math]}$ （式中G为引力常量，M为地球的质量，r为物体到地心的距离）。若让机械臂松开卫星，通过控制卫星上自带的火箭发动机，使卫星由当前半径为r的圆轨道变轨到离地球更远的半径为 $\text{[math]}$ 的圆轨道，则在此过程中，万有引力对卫星做的功为多少？（用g、R、m、r、 $\text{[math]}$ 表示）

解答题普通

2. 高空遥感探测卫星在距地球表面高为R处绕地球做圆周运动，已知该卫星的质量为m，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，万有引力常量为G。求：

（1）这颗卫星运行的运行速度大小v；

（2）这颗卫星绕地球做圆周运动的周期T；

解答题普通

3. 进入二十一世纪后，我国航天和探月工程在攀登世界科技高峰取得了多个伟大壮举。已知地球表面重力加速度g和地球半径R，回答下列问题：

（1）某卫星在赤道面沿椭圆轨道运动，其近地点到地球球心距离可认为等于地球半径R，远地点到地球球心距离等于 $\text{[math]}$ 。若此卫星在近地点时恰好在中国空间站（其运动可简化为轨道半径为R的匀速圆周运动，轨道倾角约为41.3°）的正下方，求该卫星下一次经过中国空间站正下方所需要的时间t。

（2）2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，它将完成月球背面取样的使命。为了解决探测器在月球背面的通信问题，需要发射中继卫星。一种方案是将中继卫星定点在地月系统（视为双星系统）的拉格朗日 $\text{[math]}$ 点（ $\text{[math]}$ 点位于地月连线延长线上），中继卫星在 $\text{[math]}$ 点可在地球和月球引力共同作用下，与月球同步绕地月系统的质量中心O点做匀速圆周运动。求月球到O点的距离 $\text{[math]}$ 以及 $\text{[math]}$ 点到月心的距离r。（已知地球质量为月球的质量的81倍，地月距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 很小，当x很小时， $\text{[math]}$ 。）