如图1所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成，拆下其中单个浮筒如图2所示。单个浮筒的横截面积一定，在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动，浮筒的质量为m，浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g，求：（1）浮筒做简谐运动时回复力的最大值；（2）浮筒做简谐运动时回复力与位移的比例系数k。

1. 如图1所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成，拆下其中单个浮筒如图2所示。单个浮筒的横截面积一定，在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动，浮筒的质量为m，浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g，求：

（1）浮筒做简谐运动时回复力的最大值 $\text{[math]}$ ；

（2）浮筒做简谐运动时回复力与位移的比例系数k。

【考点】

简谐运动的回复力和能量;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，底面积为S、高为5l的圆柱体浮筒漂浮于平静的水面上，静止时浮筒水面以下部分的长度为3l，已知水的密度为 $\text{[math]}$ ，重力加速度为g，将浮筒竖直往下按压长度x（小于2l）后由静止释放，浮筒开始上下振动，忽略水对浮筒的粘滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动，分析回答以下问题：

（1）由哪些力提供浮筒振动的回复力？

（2）浮筒是否做简谐运动？并进行证明；

（3）若按压长度x值减小，浮筒的振动频率怎么改变？

解答题普通

2. 简谐运动是最简单、最基本的振动，复杂的振动往往可以看作多个简谐运动的叠加。

（1）如图1所示，固定在竖直圆盘上的小球A随着圆盘以角速度ω沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动。用竖直向下的平行光照射小球A，在圆盘下方的屏上可以观察到小球A在x方向上的“影子”的运动，开始计时时小球A在圆盘最上端。请根据简谐运动的运动学特征（即做简谐运动的物体的位移x与运动时间t满足正弦函数规律），证明：小球A的“影子”以圆盘圆心在屏上的投影点O为平衡位置做简谐运动。

（2）科幻小说《地心游记》中假想凿通一条贯穿地心的极窄且光滑的隧道，人可以通过该隧道直通地球彼岸。为简化研究，质量为M、半径为R的地球视为质量分布均匀的球体，已知质量均匀分布的球壳内的质点所受万有引力的合力为零，万有引力常量为G。不计空气阻力。

a．如图2所示，以地心O为原点，沿隧道方向建立x轴，请根据简谐运动的动力学特征（即做简谐运动的物体所受的力与它偏离平衡位置的位移的大小成正比，并总是指向平衡位置）证明：质量为m的质点从静止开始落入隧道后在隧道内做简谐运动；

b．根据（1）中关于匀速圆周运动与简谐运动的关系，计算a问中质点通过隧道所用的时间t₀。

解答题普通

3. 如图所示，劲度系数 $\text{[math]}$ 的轻弹簧左端固定，右端与静止在光滑水平面上的小球相连，将小球向右缓慢拉至C点后由静止释放，振子（小球）在水平面上的B、C两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，P点为OC的中点。某次振子从左向右经过OC间的P点时开始计时， $\text{[math]}$ 后振子第四次返回到P点，期间通过的路程 $\text{[math]}$ 。求：

（1）该简谐运动的周期T和振幅A；

（2）振子经过P点时回复力的大小F。

解答题普通