在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作，反面朝上记作，记录结果得到一串由和构成的序列．在序列中，规定：仅有数字相连的排列称为由构成的游程；仅有数字相连的排列称为由构成的游程．如在序列中，共有个游程，其中由构成的游程有个，分别是；由构成的游程有个，分别是．

1. 在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作 $\text{[math]}$ ，反面朝上记作 $\text{[math]}$ ，记录结果得到一串由 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 构成的序列．在序列中，规定：仅有数字 $\text{[math]}$ 相连的排列称为由 $\text{[math]}$ 构成的游程；仅有数字 $\text{[math]}$ 相连的排列称为由 $\text{[math]}$ 构成的游程．如在序列 $\text{[math]}$ 中，共有 $\text{[math]}$ 个游程，其中由 $\text{[math]}$ 构成的游程有 $\text{[math]}$ 个，分别是 $\text{[math]}$ ；由 $\text{[math]}$ 构成的游程有 $\text{[math]}$ 个，分别是 $\text{[math]}$ ．

(1) 由 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；

(2) 由 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 随机构成的序列，记作 $\text{[math]}$ 记事件 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(ⅰ)求 $\text{[math]}$ ；

(ⅱ)求游程个数的期望．

【考点】

离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题困难

1. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.

(1) 求选手乙正确作答2个题目的概率；

(2) 求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；

(3) 从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.

解答题普通

2. 袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.

(1) 若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；

(2) 若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.

解答题普通

3. 某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案：

方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元；

方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元；

制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表：

维修次数	0	1	2
机器台数	10	40	50

以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数．

(1) 求 X 的分布列；

(2) 以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围．

解答题普通