甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

1. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是 $\text{[math]}$ ，乙每轮猜对的概率是 $\text{[math]}$ ；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(1) “星队”至少猜对3个成语的概率；

(2) “星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX．

【考点】

列举法计算基本事件数及事件发生的概率; 离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X

相关公式： $\text{[math]}$

(1) 当 n=2 时，写出X的分布列和期望.

(2) 记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.

①求出 a+b 的期望 E(a+b)

②现在实际上选取了四个点 $\text{[math]}$ 尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 $\text{[math]}$ (四舍五入取整).

(3) 记方差 D(X)，试证明 D(X)< $\text{[math]}$

解答题普通

2. 某公司生产一种大件产品的日产为2件，每件产品质量为一等的概率为0.5，二等的概率为0.4，若达不到一､二级，则为不合格，且生产两件产品品质结果相互独立.已知生产一件产品的利润如下表：

等级	一等	二等	三等
利润（万元/每件）	0.8	0.6	-0.3

(1) 求生产两件产品中至少有一件一等品的概率；

(2) 求该公司每天所获利润 $\text{[math]}$ （万元）的数学期望；

(3) 若该工厂要增加日产能，公司工厂需引入设备及更新技术，但增加n件产能，其成本也将相应提升 $\text{[math]}$ （万元），假如你作为工厂决策者，你觉得该厂目前该不该增产？请回答，并说明理由.（ $\text{[math]}$ ）

解答题普通

3. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是 $\text{[math]}$ ，每个人答题正确与否互不影响．

(1) 求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；

(2) 求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．

解答题普通