在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响．

1. 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是 $\text{[math]}$ ，每个人答题正确与否互不影响．

(1) 求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；

(2) 求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．

【考点】

离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 在坐标平面内 0≤x，y≤n (n≥1) 的区域，随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点P(a，b)(a，b∈Z)，记该点到坐标原点的距离是随机变量X

相关公式： $\text{[math]}$

(1) 当 n=2 时，写出X的分布列和期望.

(2) 记随机变量 a与b分别表示 P(a，b)的横纵坐标.

①求出 a+b 的期望 E(a+b)

②现在实际上选取了四个点 $\text{[math]}$ 尝试运用样本的平均值去估计数学期望，以此来得到估计值 $\text{[math]}$ (四舍五入取整).

(3) 记方差 D(X)，试证明 D(X)< $\text{[math]}$

解答题普通

2. 甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为 $\text{[math]}$ ．甲如果第 $\text{[math]}$ 轮猜对，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜对的概率为 $\text{[math]}$ ，如果第 $\text{[math]}$ 轮猜错，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜错的概率为 $\text{[math]}$ ；乙如果第 $\text{[math]}$ 轮猜对，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜对的概率为 $\text{[math]}$ ，如果第 $\text{[math]}$ 轮猜错，则他第 $\text{[math]}$ 轮也猜错的概率为 $\text{[math]}$ ．在每轮活动中，甲乙猜对与否互不影响．

(1) 若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；

(2) 若一条信息有 $\text{[math]}$ 种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为该条信息的信息熵（单位为比特），用于量度该条信息的复杂程度．试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数 $\text{[math]}$ 的信息熵 $\text{[math]}$ ．

(3) 如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都猜错为止．设停止游戏时“星队”进行了 $\text{[math]}$ 轮游戏，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 能通过行业标准检测的概率分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是否通过行业标准检测相互独立．

(1) 设新品 $\text{[math]}$ 通过行业标准检测的品种数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

(2) 已知新品 $\text{[math]}$ 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为 $\text{[math]}$ ，现从足量的新品 $\text{[math]}$ 中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过 $\text{[math]}$ 如果抽取次数的期望值不超过 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

参考数据： $\text{[math]}$

解答题普通