某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：素材内容素材1如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．素材2图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段，，抛物线（实线部分），线段，线段绕轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段，，抛物线（虚线部分）绕轴旋转形成的立体图形素材3已知，图2坐标系中，，记为，．根据以上素材内容，尝试求解以下问题：

1. 某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：

素材	内容
素材1	如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2	图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ （实线部分），线段 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ （虚线部分）绕 $\text{[math]}$ 轴旋转形成的立体图形
素材3	已知，图2坐标系中， $\text{[math]}$ ，记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

根据以上素材内容，尝试求解以下问题：

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留 $\text{[math]}$ ）

(3) 当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差 $\text{[math]}$ ，求杯中液体的深度．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题普通

1. 已知抛物线y＝ax²+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B ，与y轴交于点C ，点P为第二象限内抛物线上的动点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，连接OP交BC于点D ，当S_△_CPD：S_△_BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；

(3) 如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE ，若∠PEG＝2∠OGE ，请求出点P的坐标；

综合题困难

2. 一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面 $\text{[math]}$ 上时的纵向截面如图 $\text{[math]}$ 所示，其左右轮廓线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 都是抛物线 $\text{[math]}$ 的一部分，已知水杯底部 $\text{[math]}$ 宽为 $\text{[math]}$ ，水杯高度为 $\text{[math]}$ ，杯口直径 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，以杯底 $\text{[math]}$ 的中点为原点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 的垂直平分线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系．

（1）轮廓线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在的抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式为：；

（2）将水杯绕点 $\text{[math]}$ 倾斜倒出部分水，杯中水面 $\text{[math]}$ ，如图 $\text{[math]}$ 当倾斜角 $\text{[math]}$ 时，水面宽度为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

综合题普通

3. 2024年3月4日，跳水世界杯蒙特利尔站女子十米台，中国队选手包揽冠亚军，出色的表现，再次向世界展示了中国跳水队的卓越实力．如图，建立平面直角坐标系xOy．如果运动员从点A起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，那么从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系式 $\text{[math]}$ ．

(1) 在平时训练完成一次跳水动作时，运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：

水平距离 $\text{[math]}$	3	3.5	4	4.5
竖直高度 $\text{[math]}$	10	__________	__________	6.25

①求抛物线的解析式．

②补全表格．

(2) 信息一：运动员起跳后达到最高点B，点B到水面的高度为km，从到达最高点B开始计时，则她到水面的距离 $\text{[math]}$ 与时间 $\text{[math]}$ 之间满足 $\text{[math]}$ ．

信息二：已知运动员在到达最高点后，在落水前至少需要 $\text{[math]}$ 的时间才能完成极具难度的跳水动作．

①请通过计算说明，在（1）的这次训练中1，运动员能否顺利完成极具难度的跳水动作？

②运动员进行第二次跳水训练，此时她们竖直高度 $\text{[math]}$ 与水平距离 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ ．若她在到达最高点后要顺利完成极具难度的跳水动作，则n的取值范围是__________ ．

综合题普通