如图，在菱形中，点分别在边和上，且．求证：．

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1. 如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

菱形的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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证明题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图所示，已知AB∥CD，∠B=∠D，AE=CF，求证：△ABF≌△CDE.

证明题容易

2. 如图，AD和CB相交于点O ， $\text{[math]}$ ， OA＝OD ，求证：OC＝OB

证明题容易

3. 如图，点A，D，C，F在同一直线上， $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

证明题容易

1. 如图所示，在菱形ABCD中，过点C分别作边AB ， AD上的高CE ， CF ，求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通

2. 如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE.

证明题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在一条直线上，点 $\text{[math]}$ 恰好在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

证明题普通

1. 已知菱形的边长为 $\text{[math]}$ ，较短的一条对角线的长为 $\text{[math]}$ ，则该菱形较长的一条对角线的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. 顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（　　）

A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 矩形 D. 对角线互相垂直的四边

单选题普通

3. 如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为点E，F，延长BD至G，使得DG=BD，连结EG，FG，若AE=DE，则 $\text{[math]}$ =．

填空题普通

1. 综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片 $\text{[math]}$ 对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：将 $\text{[math]}$ 边沿 $\text{[math]}$ 翻折到 $\text{[math]}$ 的位置；

第 $\text{[math]}$ 步：延长 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

证明过程如下：连接 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 正方形 $\text{[math]}$ 折叠，

$\text{[math]}$ ▲ ，

又 $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ．

由题意可知 $\text{[math]}$ 的中点，设 $\text{[math]}$ 个单位 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，

在 $\text{[math]}$ 中，可列方程： $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ 方程不要求化简 $\text{[math]}$

解得： $\text{[math]}$ ▲ ，即 $\text{[math]}$ 边的三等分点．

“破浪”小组是这样操作的：

第 $\text{[math]}$ 步：如图 $\text{[math]}$ 所示，先将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，然后展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：再将正方形纸片对折，使点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合，再展开铺平，折痕为 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 翻折得折痕 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ；

第 $\text{[math]}$ 步：过点 $\text{[math]}$ 折叠正方形纸片 $\text{[math]}$ ，使折痕 $\text{[math]}$ ．

【过程思考】

(1) “乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是

$\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：， $\text{[math]}$ ：；

(2) 结合“破浪”小组操作过程，判断点 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 边的三等分点，并证明你的结论；

(3) 【拓展提升】

如图 $\text{[math]}$ ，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 上的一个三等分点，记点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 与菱形 $\text{[math]}$ 的边交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考，用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
如图，一张菱形纸片ABCD，∠ABC=60°，AB=6cm，E，F分别为边AD，BC上的两个动点，小明将菱形纸片沿着EF翻折，得到四边形A'B'FE，点A，B的对应点分别为点A^' ， B^' ．他发现了：点E从点A开始运动到点D结束的过程中，总能找到一个点F，使得点A^' ， C，B^'三点在同一直线上．

【深入探究】

操作	探究内容	图形
操作一	当点E位于AD中点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点D，A^' ， C，B'四个点在同一直线上.
操作二	将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点A'，C，B'三点在同一直线上，且得到△B'CF是直角三角形.
操作三	当当点E位于AD靠近点D的三等分点时，找到一个点F，将菱形纸片沿着EF翻折后，使得点A'，C，B^'三点在同一直线上，且A^'E与CD交于点G.