装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图12.1和图12.2所示，为水面截线，为台面截线，．计算：在图1中，已知，作于点．图12.1图12.2

1. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图12.1和图12.2所示， $\text{[math]}$ 为水面截线， $\text{[math]}$ 为台面截线， $\text{[math]}$ ．

计算：在图1中，已知 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

图12.1图12.2

(1) 求 $\text{[math]}$ 的长．

操作：将图12.1中的水面沿 $\text{[math]}$ 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当 $\text{[math]}$ 时停止滚动，如图12.2．其中，半圆的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与半圆的切点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

探究：在图12.2中

(2) 操作后水面高度下降了多少？

(3) 连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的长度．

【考点】

勾股定理的应用; 垂径定理的实际应用; 切线的性质; 弧长的计算; 解直角三角形;

【答案】

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解答题普通

1. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦 $\text{[math]}$ 长8m，设圆心为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交水面 $\text{[math]}$ 于点D ，轮子的吃水深度 $\text{[math]}$ 为2m，求该桨轮船的轮子直径．

解答题普通

2. 我国古代数学家梅鼓成在其著作《增删算法统宗》中，有诗如下：今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖笔过去，亦长二尺无疑两隅斜去恰方齐，请问三色各几？意思是；今有一房门，不知宽与高，长竿横起进门入室，门的宽度比长竿小4尺；将长竿直立过门，门的高度比长竿小2尺.将长竿斜放穿过门的对角，恰好进门，试问门的宽、高和长竿各是多少尺？

解答题普通

3. 《九章算术》标志中国古代数学形成了完整的体系，第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言可表述为：“如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，弦 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 寸， $\text{[math]}$ 寸，求直径 $\text{[math]}$ 的长，”请你解答这个问题．

解答题普通