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1. 已知:抛物线
:
.
(1)
若顶点坐标为
, 求
b
和
c
的值(用含
a
的代数式表示);
(2)
当
时,求函数
的最大值;
(3)
若不论
m
为任何实数,直线
与抛物线
有且只有一个公共点,求
a
,
b
,
c
的值;此时,若
时,抛物线的最小值为
k
, 求
k
的值.
【考点】
二次函数的最值; 二次函数与一次函数的综合应用;
【答案】
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综合题
困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 如图①,已知抛物线
y
1
=
x
2
+
bx
+
c
与
x
轴交于两点
O
(0,0)、
A
(2,0),将抛物线
y
1
向右平移两个单位长度,得到抛物线
y
2
. 点
P
是抛物线
y
1
在第四象限内一点,连接
PA
并延长,交抛物线
y
2
于点
Q
.
(1)
求抛物线
y
2
的表达式;
(2)
设点
P
的横坐标为
x
P
, 点
Q
的横坐标为
x
Q
, 求
x
Q
﹣
x
P
的值;
(3)
如图②,若抛物线
y
3
=
x
2
﹣8
x
+
t
与抛物线
y
1
=
x
2
+
bx
+
c
交于点
C
, 过点
C
作直线
MN
, 分别交抛物线
y
1
和
y
3
于点
M
、
N
(
M
、
N
均不与点
C
重合),设点
M
的横坐标为
m
, 点
N
的横坐标为
n
, 试判断|
m
﹣
n
|是否为定值.若是,直接写出这个定值;若不是,请说明理由.
综合题
困难
2. 如图1,在平面直角坐标系
中,已知抛物线
与
x
轴交于点
,
, 与
y
轴交于点
C
, 顶点为
D
, 连接
.
(1)
求抛物线的解析式;
(2)
在图1中,连接
并延长交
的延长线于点
E
, 求
的度数;
(3)
如图2,若动直线
l
与抛物线交于
M
,
N
两点(直线
l
与
不重合),连接
,
, 直线
与
交于点
P.
当
时,点
P
的横坐标是否为定值?请说明理由.
综合题
困难
3. 如图,二次函数
的图象与
轴交于
A
,
B
两点(点
A
在点
B
的左侧),与
轴正半轴交于点
, 且
.
(1)
求二次函数及直线
AC
的解析式.
(2)
P
是抛物线上一点,且在
轴上方,若
, 求点
的坐标.
综合题
普通
1. 在平面直角坐标系中,抛物线
与
轴交于点
,
(点
在点
的左侧),与
轴交于点
, 且点
的坐标为
.
(1)
求点
的坐标;
(2)
如图1,若点
是第二象限内抛物线上一动点,求点
到直线
距离的最大值;
(3)
如图2,若点
是抛物线上一点,点
是抛物线对称轴上一点,是否存在点
使以
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
综合题
困难
2. 在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣
+(m﹣1)x+2m与x轴交于A,B(4,0)两点,与y轴交于点C,点P是抛物线在第一象限内的一个动点.
(1)
求抛物线的解析式,并直接写出点A,C的坐标;
(2)
如图甲,点M是直线BC上的一个动点,连接AM,OM,是否存在点M使AM+OM最小,若存在,请求出点M的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)
如图乙,过点P作PF⊥BC,垂足为F,过点C作CD⊥BC,交x轴于点D,连接DP交BC于点E,连接CP.设△PEF的面积为S
1
, △PEC的面积为S
2
, 是否存在点P,使得
最大,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
综合题
困难
3. 在平面直角坐标系中,直线y=mx-2m与x轴,y轴分别交于A,B两点,顶点为D的抛物线y=-x
2
+2mx-m
2
+2与y轴交于点C.
(1)
如图,当m=2时,点P是抛物线CD段上的一个动点.
①求A,B,C,D四点的坐标;
②当△PAB面积最大时,求点P的坐标;
(2)
在y轴上有一点M(0,
m),当点C在线段MB上时,
①求m的取值范围;
②求线段BC长度的最大值.
综合题
困难