设公差不为0的等差数列的首项为1，且a2 ， a5 ， a14成等比数列．

1. 设公差不为0的等差数列 $\text{[math]}$ 的首项为1，且a₂ ， a₅ ， a₁₄成等比数列．

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 已知数列 $\text{[math]}$ 为正项数列，且 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

【考点】

等差数列与等比数列的综合;

【答案】

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解答题普通

1. 两个数列 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时在 $\text{[math]}$ 时取得相同的最大值，我们称 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 设 $\text{[math]}$ 的二项展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依次下去， $\text{[math]}$ ，组成的数列是 $\text{[math]}$ ；同样地， $\text{[math]}$ 的二项展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依次下去， $\text{[math]}$ ，组成的数列是 $\text{[math]}$ ；判别 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否具有性质 $\text{[math]}$ ，请说明理由；

(2) 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和是 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和是 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则这样的数列 $\text{[math]}$ 一共有多少个？请说明理由；

(3) 两个有限项数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有性质 $\text{[math]}$ ，请说明理由.

解答题困难

2. 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；

(2) 求{a_n}和{b_n}的通项公式.

解答题普通

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .

(1) 判断数列 $\text{[math]}$ 是否为等比数列，并说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

解答题普通