问题提出如图（），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？

1. 问题提出

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究：

①先将问题特殊化如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时，易证 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），请利用全等探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；

②再探究一般情形如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合时，证明（ $\text{[math]}$ ）中的结论仍然成立．

(2) 问题拓展：

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．直接写出一个等式，表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

【考点】

三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 问题背景如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=a，D为BC边上的一动点，将线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE，连接CE.求证：BD=CE；

(2) 尝试运用如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC边上的一动点，以AD为斜边在AD右侧构造Rt△AMD，∠AMD=90°，∠ADM=30°.连接CM，设BD=a，CD=b，求△CDM的面积（用a，b表示）；

(3) 拓展创新如图，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=30°，∠BAD=30°，AB=1， $\text{[math]}$ ，直接写出△ABC的面积.

实践探究题困难

2. 综合与实践

【问题情境】数学活动课上，老师给出了这样一个问题：

如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，射线AD平分 $\text{[math]}$ ，将射线AD绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到射线 $\text{[math]}$ ，在射线 $\text{[math]}$ 上取点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接BE分别交AD，AC于点M，N，连接CE.问： $\text{[math]}$ 之间的数量关系是什么？线段DM，CN之间的数量关系是什么？

【特例探究】“勤奋”小组的同学们先将问题特殊化，探究过程如下：

甲同学：当 $\text{[math]}$ 时，如图2，通过探究可以发现， $\text{[math]}$ 都是等腰三角形；

乙同学：可以证明 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ；

丙同学：过点 $\text{[math]}$ 做 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，如图3，则 $\text{[math]}$ ；

丁同学：可以证明 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， …

(1) 根据以上探究过程，得出结论：

① $\text{[math]}$ 之间的数量关系是；

②线段DM，CN之间的数量关系是.

(2) 【类比探究】

“智慧”小组的同学们在“勤奋”小组的基础上，进一步探究一般情形，当 $\text{[math]}$ 时，如图1，⑴中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图1的情形进行证明；如果不成立，请说明理由。

(3) 【迁移应用】

“创新”小组的同学们改变了条件，当 $\text{[math]}$ 时，如图4，若射线AD是 $\text{[math]}$ 的三等分角线， $\text{[math]}$ ，其他条件不变，请直接写出MN的长.

实践探究题困难

3. 综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(1) 独立思考：请解答王老师提出的问题．

(2) 实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．

“如图2，延长 $\text{[math]}$ 至点E，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点F．当 $\text{[math]}$ 时，探究 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．”

(3) 问题解决：数学活动小组同学对问题（2）进一步研究之后发现，当把“ $\text{[math]}$ ”改为“ $\text{[math]}$ ”时，如图3，求 $\text{[math]}$ 的值．请你解答．

实践探究题困难