已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 讨论方程 $\text{[math]}$ 的实根的个数.

【考点】

导数的几何意义; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数最大（小）值;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为正数且 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 若 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 都成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有定义，且对于任意不同的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 是否为 $\text{[math]}$ 上的“3类函数”；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的“2类函数”，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 的最小值为0，求a；

(2) 设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是增函数，求a的取值范围．

解答题普通