如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．

1. 如图， $\text{[math]}$ 为椭圆的两个顶点， $\text{[math]}$ 为椭圆的两个焦点．

(1) 求椭圆的方程及离心率；

(2) 过线段 $\text{[math]}$ 上异于O ， A的任一点K作 $\text{[math]}$ 的垂线，交椭圆于P ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M ．求证：点M在双曲线 $\text{[math]}$ 上．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的两焦点的距离之和为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 的两条切线分别交 $\text{[math]}$ 于另外两点 $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的顶点时，求直线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上的截距（结果用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示）；

（ⅱ）是否存在 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 总与 $\text{[math]}$ 相切．若存在，求 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由．

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，过F₁的直线m与椭圆C相交于A ， B两点，且△ABF₂的周长为8．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M ， N两点，直线l的方程为x＝4．过点M作MP⊥l于点P ，过点N作NQ⊥l于点Q ．记△GPQ ， △GPM ， △GQN的面积分别为S ， S₁ ， S₂ ．问是否存在实数λ，使得 $\text{[math]}$ 成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆C的左右焦点， $\text{[math]}$ 为平面内一个动点，其中 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C在x轴上方的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C在x轴上方的交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) ①若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 之间关系．

解答题困难