已知椭圆的离心率为，且经过点，为椭圆C的左右焦点，为平面内一个动点，其中，记直线与椭圆C在x轴上方的交点为，直线与椭圆C在x轴上方的交点为．

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆C的左右焦点， $\text{[math]}$ 为平面内一个动点，其中 $\text{[math]}$ ，记直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C在x轴上方的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆C在x轴上方的交点为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) ①若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；

②若 $\text{[math]}$ ，探究 $\text{[math]}$ 之间关系．

【考点】

椭圆的标准方程; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，焦距为 $\text{[math]}$ ，过F₁的直线m与椭圆C相交于A ， B两点，且△ABF₂的周长为8．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M ， N两点，直线l的方程为x＝4．过点M作MP⊥l于点P ，过点N作NQ⊥l于点Q ．记△GPQ ， △GPM ， △GQN的面积分别为S ， S₁ ， S₂ ．问是否存在实数λ，使得 $\text{[math]}$ 成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰三角形，顶点为 $\text{[math]}$ .

（1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

（2）求 $\text{[math]}$ 的面积.

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 中恰有两点在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 椭圆 $\text{[math]}$ 上有三点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 三点共线，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，求三角形 $\text{[math]}$ 的面积关于 $\text{[math]}$ 的表达式.

解答题困难