如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1 ， F2 ，线段OF1 ， OF2的中点分别为B1 ， B2 ，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．

1. 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，线段OF₁ ， OF₂的中点分别为B₁ ， B₂ ，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．

(1) 求该椭圆的离心率和标准方程；

(2) 过B₁做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂ ，求直线l的方程．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆方程C： $\text{[math]}$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆交于A ， B ， $\text{[math]}$ ，连接AC交椭圆于D ．

(1) 求椭圆方程和离心率；

(2) 若直线BD的斜率为0，求t ．

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为左顶点，点 $\text{[math]}$ 为上顶点， $\text{[math]}$ ，不经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过原点且与椭圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值；

(3) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个点组成的四边形的面积的最大值，并求出此时直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难

3. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率是 $\text{[math]}$ ，左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆C上；

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 若点P为直线 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交椭圆C于M ， N两点，证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点．

解答题普通