如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

1. 如图，椭圆C： $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，其左焦点到点P（2，1）的距离为 $\text{[math]}$ ，不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 求△APB面积取最大值时直线l的方程．

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的简单性质; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆方程C： $\text{[math]}$ ，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的直线l与椭圆交于A ， B ， $\text{[math]}$ ，连接AC交椭圆于D ．

(1) 求椭圆方程和离心率；

(2) 若直线BD的斜率为0，求t ．

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 在第一象限的交点 $\text{[math]}$ 的横坐标为3．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于两点 $\text{[math]}$ ，试探究直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 能否关于直线 $\text{[math]}$ 对称．若能对称，求此时直线 $\text{[math]}$ 的斜率；若不能对称，请说明理由．

解答题普通

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为左顶点，点 $\text{[math]}$ 为上顶点， $\text{[math]}$ ，不经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过原点且与椭圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 设直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为定值；

(3) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四个点组成的四边形的面积的最大值，并求出此时直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难