问题提出在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形的中心作直角，的两边分别与正方形的边，交于点E，F（点E与点B，C不重合），将绕点O旋转．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了，则，．这样，就实现了四边形的面积向面积的转化．小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成了小正方形的面积．

1. 问题提出

在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 的中心作直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，F（点E与点B，C不重合），将 $\text{[math]}$ 绕点O旋转．在旋转过程中，四边形 $\text{[math]}$ 的面积会发生变化吗？

爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．

浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．这样，就实现了四边形 $\text{[math]}$ 的面积向 $\text{[math]}$ 面积的转化．

小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作 $\text{[math]}$ 于点G， $\text{[math]}$ 于点H，证明 $\text{[math]}$ ，从而将四边形 $\text{[math]}$ 的面积转化成了小正方形 $\text{[math]}$ 的面积．

(1) 通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

(2) 类比探究

①如图⒉，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ▲ ．

②如图3，将问题中的正方形 $\text{[math]}$ 改为菱形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，其他条件不变，四边形 $\text{[math]}$ 的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积；若不是，请说明理由．

(3) 拓展延伸

如图4，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

【考点】

正方形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形 $\text{[math]}$ 内一点， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点B按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ （点A的对应点为点C）．延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．