某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为，宽为的矩形，已知，点O到的距离为，小区门口宽度为．

1. 某小区门口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆 $\text{[math]}$ 绕点O匀速旋转，另一曲臂杆 $\text{[math]}$ 始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．闸机是高为 $\text{[math]}$ ，宽为的矩形 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，点O到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，小区门口宽度为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当曲臂杆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ 时，求点A到地面的距离；

(2) 因机器出现故障，曲臂杆 $\text{[math]}$ 最多可旋转 $\text{[math]}$ ，有一辆宽为 $\text{[math]}$ 、高为 $\text{[math]}$ 的货车可否顺利通过门口?（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

【考点】

矩形的判定与性质; 解直角三角形的其他实际应用;

【答案】

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综合题普通

1. 图1是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，图2是它的示意图．经过测量，支架的立柱 $\text{[math]}$ 与地面垂直 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，点 $\text{[math]}$ 在同一水平线上，斜杆 $\text{[math]}$ 与水平线 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，支撑杆 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，该支架的边 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ，又测得 $\text{[math]}$ 米．

(1) 求该支架的边 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 求支架的边 $\text{[math]}$ 的顶端 $\text{[math]}$ 到地面 $\text{[math]}$ 的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据： $\text{[math]}$ ）

综合题普通

2. 图①是某种可调节支撑架， $\text{[math]}$ 为水平固定杆，竖直固定杆 $\text{[math]}$ ，活动杆 $\text{[math]}$ 可绕点A旋转， $\text{[math]}$ 为液压可伸缩支撑杆，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图②，当活动杆 $\text{[math]}$ 处于水平状态时，求可伸缩支撑杆 $\text{[math]}$ 的长度（结果保留根号）；

(2) 如图③，当活动杆 $\text{[math]}$ 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为锐角），求此时可伸缩支撑杆 $\text{[math]}$ 的长度（结果保留根号）．

综合题普通

3. 如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高 $\text{[math]}$ 是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据： $\text{[math]}$ ）

综合题普通