在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：如图①，，点在AB与CD之间，可得结论：．理由如下：过点作．．，，，．【问题解决】

1. 在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：

如图①， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在AB与CD之间，可得结论： $\text{[math]}$ ．

理由如下：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

【问题解决】

(1) 如图②， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在AB与CD之间，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图③， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在AB与CD之间，AE平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的等量关系，并写出理由；

(3) 如图④， $\text{[math]}$ ，点P、E在AB与CD之间， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 间的等量关系是．（只写结论）

【考点】

平行线的性质; 角平分线的概念;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题情境】

在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线 $\text{[math]}$ ，连接AB ，点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC ， BD分别平分 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，分别交射线AM于点C、D.

(1) 【初步探究】

“快乐小组”经过探索后发现：

当 $\text{[math]}$ 时，试说明 $\text{[math]}$ ；

(2) 不断改变 $\text{[math]}$ 的度数， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 始终存在某种数量关系，用含 $\text{[math]}$ 的式子表示 $\text{[math]}$ ；

(3) 【类比探究】“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由.

实践探究题困难

2. 小明完成作业后在家复习，他看到七下课本第12页例4，感到这个结论十分有趣，便尝试探究起来.

(1) 【基础巩固】

与例4条件和结论互换，改成了：“如图1，AP 平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗? 请说明理由.

(2) 【尝试探究】

小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成探究：

如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2 是CP与CD的夹角.

①若∠2=22°，求∠1的度数.

②试说明：2∠1-∠2=90°.

(3) 【拓展提高】

如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的数量关系.

实践探究题困难

3. 【知识背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位罟关系中，包括垂直这种特殊位置关系．

(1) 【问题探究】

如图1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点C ， D是直线 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点E ．

①若D在点B的右侧，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数为 ▲ ．

②如图2，当D在点B的右侧时，过点E作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出y与x的关系式．

(2) 【拓展应用】

“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧班列”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A ， B两座可旋转探照灯．如图3，假定主道路是平行的，即 $\text{[math]}$ ，连在 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．灯 $\text{[math]}$ 发出的射线 $\text{[math]}$ 自 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转，灯B发出的射线 $\text{[math]}$ 自 $\text{[math]}$ 顺时针旋转至 $\text{[math]}$ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是9度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，在灯A发出的射线 $\text{[math]}$ 从 $\text{[math]}$ 转至 $\text{[math]}$ 的过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直时，请直接写出此时t的值．

实践探究题普通