已知是等腰直角三角形，．

1. 已知 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1， $\text{[math]}$ 是直角边 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请写出此时线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系（不用证明）；

(2) 在（1）的条件下将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到如图2的位置时，请证明此时（1）中的结论仍然成立；

(3) 在（1）的条件下将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，请画出图形；若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题普通

1. 如图， $\text{[math]}$ ．

(1) 写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系．

(2) 延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 在(2)的条件下，作 $\text{[math]}$ 的平分线，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

综合题普通

(1) 如图1，过等边 $\text{[math]}$ 的顶点A作 $\text{[math]}$ 的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针方向旋转60°得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

①求证： $\text{[math]}$ ；

②连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点D．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将边 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 长．

综合题困难

3. 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上时，得出结论： $\text{[math]}$ ；直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的位置关系是；

(2) 如图2，将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转一周的过程中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其所在直线相交于点 $\text{[math]}$ ．

①（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由．

②当 $\text{[math]}$ 的长度最大时，求线段 $\text{[math]}$ 的长度．

综合题困难