已知复数，且为纯虚数.

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数.

(1) 求复数 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ .

【考点】

复数的基本概念; 复数代数形式的乘除运算; 复数的模; 共轭复数;

【答案】

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解答题普通

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数.

（1）求复数 $\text{[math]}$ ；

（2）若 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 任意一个复数 $\text{[math]}$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为： $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ．如果令 $\text{[math]}$ ，则能导出复数乘方公式： $\text{[math]}$ ．请用以上知识解决以下问题．

(1) 试将 $\text{[math]}$ 写成三角形式；

(2) 试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(3) 计算： $\text{[math]}$ 的值．

解答题困难

3. 已如 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ．

(1) 当实数 $\text{[math]}$ 取何值时， $\text{[math]}$ 是纯虚数；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通