任意一个复数的代数形式都可写成复数三角形式，即，其中为虚数单位，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为：，则：．如果令，则能导出复数乘方公式：．请用以上知识解决以下问题．

1. 任意一个复数 $\text{[math]}$ 的代数形式都可写成复数三角形式，即 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667～1754）创立．设两个复数用三角函数形式表示为： $\text{[math]}$ ，则： $\text{[math]}$ ．如果令 $\text{[math]}$ ，则能导出复数乘方公式： $\text{[math]}$ ．请用以上知识解决以下问题．

(1) 试将 $\text{[math]}$ 写成三角形式；

(2) 试应用复数乘方公式推导三倍角公式： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；

(3) 计算： $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

复数代数形式的乘除运算; 复数的模;

【答案】

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解答题困难

1. 设 $\text{[math]}$ 是虚数， $\text{[math]}$ 是实数且 $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值以及 $\text{[math]}$ 实部的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为纯虚数.

解答题普通

2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

解答题普通

3. 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 若复数 $\text{[math]}$ 为实数，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通