任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m ， n），如，所以的麓外区间为（1，2）．

1. 任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T： $\text{[math]}$ ，（其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数），则称无理数T的“麓外区间”为（m ， n），

如 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 的麓外区间为（1，2）．

(1) 无理数 $\text{[math]}$ 的“麓外区间”是；

(2) 实数x ， y ， m满足关系式：

$\text{[math]}$

求m的算术平方根的“麓外区间”．

(3) 若某一个无理数T的“麓外区间”为（m ， n），其中 $\text{[math]}$ 是关于x ， y的二元一次方程 $\text{[math]}$ 的一组正整数解，请求出m、n的值，并写出一个符合题意的无理数T ．

【考点】

二元一次方程的解; 解二元一次方程组; 算术平方根的性质（双重非负性）; 三元一次方程组及其解法;

【答案】

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实践探究题困难

1. 解方程组 $\text{[math]}$ 时，由于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误．而采用下面的解法则比较简单：

解：①-②得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ③．

③×35-①得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

所以原方程组的解是 $\text{[math]}$ ．

请你运用上述方法解方程组： $\text{[math]}$ ．

实践探究题普通

2. 对下列问题，有三名同学提出了各自的想法：若方程组 $\text{[math]}$ 的解是 $\text{[math]}$ 求方程组 $\text{[math]}$ 的解．甲说： “这个题目的条件好像不够，不能求解， ”乙说： “它们的系数有一定的规律，可以试试．”丙说： “能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以 4 ，通过换元替代的方法来解决？”参考他们的讨论，请你探索：若能求解，请求出它的解；若不能，请说明理由．

实践探究题困难

3. 综合与实践

【问题情境】

我们知道方程 $\text{[math]}$ 有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ．

【实践探究】

但类似方程 $\text{[math]}$ ，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下：

由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$

∵x，y是正整数，

$\text{[math]}$ 也是正整数，

∴可用观察法，得 $\text{[math]}$ ② ；

∴原方程的正整数解为：③ ．

阅读以上材料，解决下列问题：

(1) 请补充上述探究过程中①②③所缺的内容；

(2) 一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数．

实践探究题普通