如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点.点是抛物线上的任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图像.

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ .点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的任意一点（点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 重合），点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线上点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间的部分（包含端点）记为图像 $\text{[math]}$ .

(1) 求出抛物线的解析式；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，图像 $\text{[math]}$ 的最大值与最小值的差为 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上的一点，纵坐标为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为邻边构造矩形 $\text{[math]}$ ，当抛物线在矩形 $\text{[math]}$ 内的部分所对应的函数值 $\text{[math]}$ 随 $\text{[math]}$ 的增大而减小时，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，与y轴交于点C ，且顶点为 $\text{[math]}$ ，连接BC.

图① 图②

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P ，已知P点的横坐标为t ，过点P作 $\text{[math]}$ 交BC于点Q ，则 $\text{[math]}$ 是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；

(3) 如图②，连接CA ，抛物线上是否存在点M ，使得 $\text{[math]}$ ，如果存在，请求出直线CM与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点E ，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点D的坐标．

综合题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的两个交点坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在x轴上（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合），另两个顶点 $\text{[math]}$ 在抛物线上（如图）．

①当点P在什么位置时，矩形 $\text{[math]}$ 的周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；

②判断命题“当矩形 $\text{[math]}$ 周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由．

综合题困难