如图，抛物线与x轴的两个交点坐标为、．

1. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的两个交点坐标为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；

(2) 矩形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在x轴上（ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合），另两个顶点 $\text{[math]}$ 在抛物线上（如图）．

①当点P在什么位置时，矩形 $\text{[math]}$ 的周长最大？求这个最大值并写出点P的坐标；

②判断命题“当矩形 $\text{[math]}$ 周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，二次函数的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点，与y轴交于点C ，且顶点为 $\text{[math]}$ ，连接BC.

图① 图②

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图①，在BC的上方抛物线上存在一点P ，已知P点的横坐标为t ，过点P作 $\text{[math]}$ 交BC于点Q ，则 $\text{[math]}$ 是否存在最大值，若存在求出最大值，若不存在请说明理由；

(3) 如图②，连接CA ，抛物线上是否存在点M ，使得 $\text{[math]}$ ，如果存在，请求出直线CM与x轴的交点坐标，不存在，请说明理由.

综合题困难

2. 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于 $\text{[math]}$ ， B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；

(3) 如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点E ，连接 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值及此时点D的坐标．

综合题困难

3. 抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$

(1) 求这条抛物线的函数解析式．

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有最大值为5，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 抛物线上有一点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，另有点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为边作矩形 $\text{[math]}$ ，设抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ．

①连结 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积2倍，求 $\text{[math]}$ 的值．

②抛物线的对称轴上有一点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得线段 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作正方形 $\text{[math]}$ ，若正方形 $\text{[math]}$ 与矩形 $\text{[math]}$ 重合部分的图形周长为10，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…