如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝ax2+c ，经过点M（2，3），与y轴交于点A（0，﹣1），直线BC与抛物线交于异于点A的B ， C两点．

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1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝ax²+c ，经过点M（2，3），与y轴交于点A（0，﹣1），直线BC与抛物线交于异于点A的B ， C两点．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 若三角形BOM是以OM为底的等腰三角形，试求出此时点B的横坐标；

(3) 若 BA⊥CA ，探究直线BC是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

【考点】

二次函数的实际应用-几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为 $\text{[math]}$ ，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案 $\text{[math]}$ 现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：

方案一，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ 其中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

方案二，抛物线型拱门的跨度 $\text{[math]}$ ，拱高 $\text{[math]}$ 其中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

要在拱门中设置高为 $\text{[math]}$ 的矩形框架，其面积越大越好 $\text{[math]}$ 框架的粗细忽略不计 $\text{[math]}$ 方案一中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上；方案二中，矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积记为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，边 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 现知，小华已正确求出方案二中，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：

(1) 求方案一中抛物线的函数表达式；

(2) 在方案一中，当 $\text{[math]}$ 时，求矩形框架 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 并比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小．

综合题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB ．

（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；

（Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作 $\text{[math]}$ 轴于点H ，与线段AB交于点M ，作 $\text{[math]}$ 轴于点K ，与线段AB交于点N ，求 $\text{[math]}$ 的最大值

(2) 如图②，直线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点C ，同时与抛物线 $\text{[math]}$ 交于点D（ $\text{[math]}$ ， 0），以线段CD为边作菱形CDFE ，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．

综合题困难

3. 根据以下素材，探索完成任务．

如何设计跳长绳方案
素材1	图1是集体跳长绳比赛，比赛时，各队跳绳10人，摇绳2人，共计12人．图2是绳甩到最高处时的示意图，可以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米，绳子最高点距离地面2.5米．
素材2	某队跳绳成员有6名男生和4名女生，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.66米至1.68米．跳长绳比赛时，可以采用一路纵队或两路纵队并排的方式安排队员位置，但为了保证安全，人与人之间距离至少0.5米．
问题解决
任务1	确定长绳形状	在图2中建立合适的直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．
任务2	探究站队方式	当该队以一路纵队的方式跳绳时，绳子能否顺利的甩过所有队员的头顶？
任务3	拟定位置方案	为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低的方式居中安排站位．请在你所建立的坐标系中，求出左边第一位跳绳队员横坐标的最大取值范围．

综合题普通