“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边三角形的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）

1. 如图，在扇形纸扇中，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 若扇形AOB的半径为6， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π

单选题容易

3. 已知圆弧所在圆的半径是 $\text{[math]}$ ，所对的圆心角是 $\text{[math]}$ ，则这条弧的长是（）

A. 3 $\text{[math]}$ B. 4 $\text{[math]}$ C. 6 $\text{[math]}$ D. 8 $\text{[math]}$

单选题容易

1. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为（）

A. π B. 1 C. 2 D. $\text{[math]}$

单选题普通

2. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边 $\text{[math]}$ 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 $\text{[math]}$ 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，这是某人通过定滑轮拉升货物 $\text{[math]}$ 的示意图 (拉绳与滑轮之间无滑动)，已知定滑轮的半径为 $\text{[math]}$ ．若货物 $\text{[math]}$ 上升了 $\text{[math]}$ ，则此定滑轮旋转的度数是（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，公路弯道标志 $\text{[math]}$ 表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有 $\text{[math]}$ 处的弯道上从点A行驶了 $\text{[math]}$ 米到达点B，则线段 $\text{[math]}$ 米．

填空题普通

2. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．

填空题普通

3. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边 $\text{[math]}$ 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边 $\text{[math]}$ 的边长为6，则该“莱洛三角形”的周长等于.

填空题普通

1. 项目化学习：车轮的形状．

【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理?

【合作探究】

(1) 探究 $\text{[math]}$ 组：如图1，圆形车轮半径为 $\text{[math]}$ ，其车轮轴心 $\text{[math]}$ 到地面的距离始终为______ $\text{[math]}$ ．

(2) 探究 $\text{[math]}$ 组：如图2，正方形车轮的轴心为 $\text{[math]}$ ，若正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，求车轮轴心 $\text{[math]}$ 最高点与最低点的高度差．

(3) 探究 $\text{[math]}$ 组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为 $\text{[math]}$ ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 $\text{[math]}$ ，其车轮轴心为 $\text{[math]}$ ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 $\text{[math]}$ 经过的路程．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．

【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 $\text{[math]}$ 为圆心，以正三角形的边长为半径作 $\text{[math]}$ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．

(4) 探究 $\text{[math]}$ 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是______．

延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 $\text{[math]}$ 并不稳定．

解答题普通

2. 如图，E是正方形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上的一个动点．边 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称的线段为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是等边三角形，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 延长 $\text{[math]}$ 交于点G．

①在不考虑动点E与点A，D重合的情况下， $\text{[math]}$ 能否为等腰三角形？如果能，求此时 $\text{[math]}$ 的度数；如果不能，请说明理由；

②若正方形边长为4，求点G的运动路径长，并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

解答题困难

3. 项目化学习：车轮的形状．

【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理?

(1)

【合作探究】

探究 $\text{[math]}$ 组：如图1，圆形车轮半径为 $\text{[math]}$ ，其车轮轴心 $\text{[math]}$ 到地面的距离始终为 $\text{[math]}$ ．
探究 $\text{[math]}$ 组：如图2，正方形车轮的轴心为 $\text{[math]}$ ，若正方形的边长为 $\text{[math]}$ ，求车轮轴心 $\text{[math]}$ 最高点与最低点的高度差．
探究 $\text{[math]}$ 组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为 $\text{[math]}$ ，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为 $\text{[math]}$ ，其车轮轴心为 $\text{[math]}$ ，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点 $\text{[math]}$ 经过的路程．

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定．

(2)

【拓展延伸】如图4，分别以正三角形的三个顶点 $\text{[math]}$ 为圆心，以正三角形的边长为半径作 $\text{[math]}$ 圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形”．

探究 $\text{[math]}$ 组：使 “莱洛三角形” 沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有 “最高点”，“中心点” 也在不断移动位置，那么在 “莱洛三角形” 滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图案大致是．

延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于一组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心 $\text{[math]}$ 并不稳定．

实践探究题困难

1. 如图，公路弯道标志 $\text{[math]}$ 表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有 $\text{[math]}$ 处的弯道上从点A行驶了 $\text{[math]}$ 米到达点B，则线段 $\text{[math]}$ 米．

填空题普通

2. 如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为 $\text{[math]}$ ，则勒洛三角形的周长为．

填空题普通

3. 如图①，小慧同学把一个正三角形纸片（即△OAB）放在直线l₁上．OA边与直线l₁重合，然后将三角形纸片绕着顶点A按顺吋针方向旋转120°，此时点O运动到了点O₁处，点B运动到了点B₁处；小慧又将三角形纸片AO₁B₁ ，绕点B₁按顺吋针方向旋转 120°，此时点A运动到了点A₁处，点O₁运动到了点O₂处（即顶点O经过上述两次旋转到达O₂处）．

小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转的过程中．顶点O运动所形成的图形是两段圆弧，即 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，顶点O所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线l₁围成的图形面积等于扇形A00₁的面积、△AO₁B₁的面积和扇形B₁O₁O₂的面积之和．

小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片0ABC放在直线l₂上，0A边与直线l₂重合，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₂处，小慧又将正方形纸片 AO₁C₁B₁绕顶点B₁按顺时针方向旋转90°，…．按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：

问题①：若正方形纸片0ABC按上述方法经过3次旋转，求顶点0经过的路程，并求顶点O在此运动过程中所形成的图形与直线l₂围成图形的面积；若正方形纸片OABC按上述方法经过5次旋转．求顶点O经过的路程；

问题②：正方形纸片OABC按上述方法经过多少次旋转，顶点0经过的路程是 $\text{[math]}$ ？

解答题普通