①当时,命题成立;
②在假设“当时,命题成立”的前提下,能够推出“当时,合题成立”.
那么,命题对于任何不小于的自然数成立.
上述方法,称为“数学归纳法”.
例如,利用“数学归纳法”证明:平面内的个圆将平面至多分为个区域,其中 .
注意1个圆将平面分为2个区域.当时, .
所以,当时,命题成立.
假设当时,命题成立,即平面内的个圆将平面至多分为个区域.
在此基础上,增加1个圆.
为使区域最多,应使增加的圆与前个圆均相交,于是增加了个交点,个交点将增加的圆分为段弧,段弧分别将其经过的区域分为2个区域,于是增加了个区域.
从而,平面内的个圆将平面至多分为个区域.
当时, .
所以,当时,合题成立.
综上,命题对于任何成立.
利用“数学归纳法”证明:
那么我们记等于 , , , 的最大值.这样得到的称为的最大生成函数.