已知：如图，是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，动点P的速度是，动点Q的速度是，当动点Q到达点C时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为，解答下列问题：

1. 已知：如图， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 方向匀速运动，动点P的速度是 $\text{[math]}$ ，动点Q的速度是 $\text{[math]}$ ，当动点Q到达点C时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ ，解答下列问题：

(1) 当t为何值时， $\text{[math]}$ 是直角三角形？

(2) 是否存在某一时刻t ，使线段 $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 分成两部分的面积比为 $\text{[math]}$ ？如果存在，求出相应的t值；如果不存在，请说明理由．

【考点】

三角形-动点问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，分别交直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上时， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间具有怎样的数量关系？并说明理由．

综合题困难

2. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝5cm，点P是从A点出发的动点，在三角形边上沿着 $\text{[math]}$ 运动，速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t秒．

(1) 当t＝7.5秒时，CP的长为．

(2) 是否存在t的值，使得时间为t秒时△ABP的面积与时间为（t＋2）秒时△ACP的面积相等? 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

综合题普通

3. 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D为AB的中点，点P在线段BC上由点B出发向点C运动，同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动，设运动时间为t（s）.

(1) 若点P与点Q的速度都是3cm/s，则经过多长时间 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等？请说明理由.

(2) 若点P的速度比点Q的速度慢3cm/s，则经过多长时间 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 全等？请求出此时两点的速度.

(3) 若点P、点Q分别以（2）中的速度同时从点B，C出发，都按逆时针方向沿 $\text{[math]}$ 三边运动，则经过多长时间点P与点Q第一次相遇？相遇点在 $\text{[math]}$ 的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离.

综合题困难