已知：如图1，是三角形内一点，连接，．求证：．证明：如图，延长，交于点．是的一个外角（外角的定义），（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．是的一个外角（外角的定义），（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．．

1. 已知：如图1， $\text{[math]}$ 是三角形 $\text{[math]}$ 内一点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ．

证明：如图 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个外角（外角的定义），

$\text{[math]}$ （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个外角（外角的定义），

$\text{[math]}$ （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．

$\text{[math]}$ ．

(1)

【知识迁移】如图 $\text{[math]}$ ，求证：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ．

(2) 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 中边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，则 $\text{[math]}$ 的度数是．

【考点】

三角形内角和定理; 三角形的外角性质;

【答案】

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实践探究题困难

1. 【问题背景】∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

【问题思考】（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB＝　　．

（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D．

①若∠BAO＝70°，则∠D＝　　°．

②随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由；

【问题拓展】（3）在图②的基础上，如果∠MON＝a，其余条件不变，随着点A、B的运动（如图③），∠D＝　　.（用含a的代数式表示）

实践探究题普通

(1) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中，已知点O是内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平分线的交点．

①若 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的度数．

②直接写出 $\text{[math]}$ 的度数与 $\text{[math]}$ 的关系式：___________________________________．

(2) 如图2，在 $\text{[math]}$ 中，已知点D是外角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平分线的交点．

①若 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的度数．

②直接写出 $\text{[math]}$ 的度数与 $\text{[math]}$ 的关系式：____________________________________．

(3) 如图3，在 $\text{[math]}$ 中，已知点P是内角 $\text{[math]}$ 、外角 $\text{[math]}$ 的平分线的交点．

①若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的度数．

②直接写出 $\text{[math]}$ 的度数与 $\text{[math]}$ 的关系式：____________________________________．

(4) 如图4，已知直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互相垂直，垂足为O，点A在射线 $\text{[math]}$ 上运动，点B在射线 $\text{[math]}$ 上运动，点A，B均不与点O重合，已知点E在 $\text{[math]}$ 的延长线上， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的平分线所在的直线分别相交于点D，F．在 $\text{[math]}$ 中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍．请直接写出 $\text{[math]}$ 的度数：______________________．

实践探究题普通

3. 【问题呈现】如图①，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于P点．求证：∠P＝ $\text{[math]}$ ∠A．

(1) 证明：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，

∴∠PBC＝ $\text{[math]}$ ∠ABC，∠PCD＝ $\text{[math]}$ ▲ ，

∵∠PCD＝ ▲ ＋∠P，

∴∠P＝∠PCD﹣ ▲ ，

＝ $\text{[math]}$ （∠ACD﹣∠ABC

＝ $\text{[math]}$ ▲ ．

(2) 【拓展应用】四边形MBCN中，内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而成的锐角记为∠P，设∠A＋∠D＝α．

如图②，若α＝225°，求∠P的度数．

(3) 若α＜180°，请利用图③画图探索，则∠P的大小为度．（用含α的代数式表示）

实践探究题困难