设函数且．

1. 设函数 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

(1) 解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 恒成立，则是否存在实数 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ 时，恒有 $\text{[math]}$ ？若存在，求实数 $\text{[math]}$ 的范围；若不存在，请说明理由．

【考点】

函数单调性的性质; 函数恒成立问题; 基本不等式在最值问题中的应用;

【答案】

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解答题困难

1. 若函数 $\text{[math]}$ 为定义域 $\text{[math]}$ 上单调函数，且存在区间 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ），使得当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的取值范围恰为 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是D上的正函数，区间 $\text{[math]}$ 叫做等域区间．

(1) 是否存在实数m，使得函数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的正函数？若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且不等式 $\text{[math]}$ 的解集恰为 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的解析式，并判断 $\text{[math]}$ 是否为函数 $\text{[math]}$ 的等域区间．

解答题困难

2. 二次函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 在区间 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 的图象恒在 $\text{[math]}$ 图象的上方，试确定实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ 有如下性质：若常数 $\text{[math]}$ ，则该函数在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增.

(1) 已知函数 $\text{[math]}$ ，利用上述性质，求函数 $\text{[math]}$ 的值域；

(2) 对于（1）中的函数 $\text{[math]}$ 和函数 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通