已知函数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若 $\text{[math]}$ 有两个极值点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值; 导数在最大值、最小值问题中的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率．考察图所示的光滑曲线 $\text{[math]}$ 上的曲线段 $\text{[math]}$ ，其弧长为 $\text{[math]}$ ，当动点从A沿曲线段 $\text{[math]}$ 运动到B点时，A点的切线 $\text{[math]}$ 也随着转动到B点的切线 $\text{[math]}$ ，记这两条切线之间的夹角为 $\text{[math]}$ （它等于 $\text{[math]}$ 的倾斜角与 $\text{[math]}$ 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 $\text{[math]}$ 为曲线段 $\text{[math]}$ 的平均曲率；显然当B越接近A ，即 $\text{[math]}$ 越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的曲率计算公式为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．

(1) 求单位圆上圆心角为 $\text{[math]}$ 的圆弧的平均曲率；

(2) 已知函数 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 的曲率的最大值；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 曲率为0时x的最小值分别为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 已知函数f（x）＝ln $\text{[math]}$ +ax+b（x﹣1）³ ．

(1) 若b＝0，且f^'（x）≥0，求a的最小值；

(2) 证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；

(3) 若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．

解答题困难

3. 已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x ．

(1) 当a＝﹣2时，求f（x）的极值；

(2) 当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．

解答题普通