“北斗三号”全球卫星导航系统自正式开通以来，运行稳定并持续为全球用户提供优质服务，系统服务能力步入世界一流行列。它由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成。已知地球的半径为 R，地球自转周期为T，地球表面的重力加速度大小为g，中圆地球轨道卫星的轨道半径为 r，引力常量为G，求：

1. “北斗三号”全球卫星导航系统自正式开通以来，运行稳定并持续为全球用户提供优质服务，系统服务能力步入世界一流行列。它由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成。已知地球的半径为 R，地球自转周期为T，地球表面的重力加速度大小为g，中圆地球轨道卫星的轨道半径为 r，引力常量为G，求：

(1) 地球静止轨道卫星到地球表面的高度 h；

(2) 中圆地球轨道卫星的运行周期T'。

【考点】

万有引力定律的应用; 卫星问题;

【答案】

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综合题普通

1. 一个登月的宇航员，能否用一个弹簧秤和一个质量为 $\text{[math]}$ 的砝码，估计测出月球的质量和密度？如果能，说明估测方法并写出表达式．设月球半径为 $\text{[math]}$ ，设弹簧秤示数为 $\text{[math]}$ ．

综合题普通

2. 某卫星 $\text{[math]}$ 在赤道平面内绕地球做圆周运动，运行方向与地球自转方向相同，赤道上有一卫星测控站 $\text{[math]}$ 。已知卫星距地面的高度为 $\text{[math]}$ ，地球的半径为 $\text{[math]}$ ，地球表面的重力加速度为 $\text{[math]}$ 。

(1) 求卫星 $\text{[math]}$ 做圆周运动的周期 $\text{[math]}$ ；

(2) 若地球自转周期为 $\text{[math]}$ ，求卫星 $\text{[math]}$ 和测控站 $\text{[math]}$ 能连续直接通讯的最长时间 $\text{[math]}$ 卫星信号传输时间可忽略 $\text{[math]}$

综合题普通

3. 如图所示，地球的两个卫星围绕地球在同一平面内做匀速圆周运动，已知卫星一运行的周期为 $\text{[math]}$ ，地球半径为 $\text{[math]}$ ，卫星一和卫星二到地球中心之间的距离分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，引力常量为 $\text{[math]}$ ，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为 $\text{[math]}$ 。求：（结果均用 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示）

(1) 卫星二围绕地球做圆周运动的周期；

(2) 从图示时刻开始，经过多长时间两卫星第一次相距最近﹔

(3) 地球的密度。

综合题困难