已知椭圆：（）经过三点，，中的两点.

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）经过三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的两点.

(1) 求 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 过 $\text{[math]}$ 的右焦点的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的方程；若不存在，请说明理由.

【考点】

椭圆的标准方程; 椭圆的应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$

(2) 设椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，椭圆 $\text{[math]}$ 的一条切线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

解答题普通

2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在 $\text{[math]}$ 轴上，离心率为 $\text{[math]}$ 且过点 $\text{[math]}$ ，

(1) 求椭圆的标准方程；

(2) 倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 过椭圆的右焦点 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：

(1) 长轴是短轴的3倍且经过点 $\text{[math]}$ ；

(2) 短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 $\text{[math]}$ ；

解答题普通