设是数列的前项和，写出同时满足下列条件数列的一个通项公式：.①数列是等差数列；② ，；③ ，

1. 设 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，写出同时满足下列条件数列 $\text{[math]}$ 的一个通项公式：.

①数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

【考点】

数列的通项公式;

【答案】

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填空题困难

1. 自然常数，符号 $\text{[math]}$ ，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率 $\text{[math]}$ 和虚数单位 $\text{[math]}$ ，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是 $\text{[math]}$ .设数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

(1) 写出数列 $\text{[math]}$ 的前三项 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) 证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难

2. 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为 $\text{[math]}$ ， 2表示为 $\text{[math]}$ ， 3表示为 $\text{[math]}$ ， 5表示为 $\text{[math]}$ ，发现若 $\text{[math]}$ 可表示为二进制表达式 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

(1) 记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 记 $\text{[math]}$ 为整数 $\text{[math]}$ 的二进制表达式中的0的个数，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）求 $\text{[math]}$ （用数字作答）．

解答题困难

3. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题困难