已知数列的各项均为正数，为的前项和，且．

1. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

数列的求和; 数列的通项公式; 通项与前n项和的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 证明： $\text{[math]}$ ．

解答题普通

2. 在条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 中任选一个，补充在横线上，并求解下面问题：已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ____，

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$

解答题普通

3. 数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，称 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的指数和.

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 所有可能的取值；

(2) 求证： $\text{[math]}$ 的充分必要条件是 $\text{[math]}$ ；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的所有可能取值之和.

解答题困难