综合与实践问题提出如图1，在中，AD平分，交BC于点D ，且，则AB ， CD ， AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由.

1. 综合与实践

问题提出

如图1，在 $\text{[math]}$ 中，AD平分 $\text{[math]}$ ，交BC于点D ，且 $\text{[math]}$ ，则AB ， CD ， AC之间存在怎样的数量关系？并说明理由.

(1) 方法运用

我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，延长AC至点E ，使得 $\text{[math]}$ ，连接DE ， ……，请判断AB ， CD ， AC之间的数量关系并补充完整解题过程.

(2) 以上方法叫做“补短法”.我们还可以采用“截长法”，即通过在AB上截取线段构造全等三角形来解题.如图3，在线段AB上截取AF ，使得 $\text{[math]}$ ① ▲ ，连接② ▲ .请补全空格，并在图3中画出辅助线.

(3) 延伸探究

小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在五边形ABCDE中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数.

【考点】

三角形全等及其性质; 三角形全等的判定;

【答案】

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实践探究题普通

1. 在直线 $\text{[math]}$ 上依次取互不重合的三个点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上方有 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当 $\text{[math]}$ 时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；

(3) 拓展与应用：如图3，当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 平分线上的一点，且 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由．

实践探究题困难

2. 某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形，如下图

(1) 已知：在 $\text{[math]}$ 中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，直线l经过点A ， BD⊥直线l ， CE⊥直线l ，垂足分别为点D、E ．则线段DE与BD、CE的数量关系为．

(2) 组员小刘想，如果三个角不是直角，那（1）中的结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 $\text{[math]}$ 中，AB＝AC ， D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为任意锐角或钝角．如果（1）中的结论成立，请证明；如不成立，请说明理由．

(3) 数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过 $\text{[math]}$ 的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG ， AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I ，求证：I是EG的中点.

实践探究题困难

(1) 【初步探索】

如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD ，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G ，使DG＝BE ．连接AG ，先证明△ABE≌△ADG ，再证明△AEF≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是；

(2) 【灵活运用】

如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD ， ∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3) 【拓展延伸】

如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD ，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD ，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．

实践探究题困难