某校数学活动小组探究了如下数学问题：

1. 某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1) 问题发现：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是底边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为腰作等腰 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、则 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；

(2) 变式探究：如图 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是腰 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为底边作等腰 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 问题解决；如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为对角线作正方形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 若设正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系式．

【考点】

正方形的性质; 相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 问题提出

在综合与实践课上，某数学研究小组提出了这样一个问题：如图1，在边长为4的正方形 $\text{[math]}$ 的中心作直角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两边分别与正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点E，F（点E与点B，C不重合），将 $\text{[math]}$ 绕点O旋转．在旋转过程中，四边形 $\text{[math]}$ 的面积会发生变化吗？

爱思考的浩浩和小航分别探究出了如下两种解题思路．

浩浩：如图a，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质，证明了 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．这样，就实现了四边形 $\text{[math]}$ 的面积向 $\text{[math]}$ 面积的转化．

小航：如图b，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作 $\text{[math]}$ 于点G， $\text{[math]}$ 于点H，证明 $\text{[math]}$ ，从而将四边形 $\text{[math]}$ 的面积转化成了小正方形 $\text{[math]}$ 的面积．

(1) 通过浩浩和小航的思路点拨﹐我们可以得到 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ．

(2) 类比探究

①如图⒉，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， O是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ ▲ ．

②如图3，将问题中的正方形 $\text{[math]}$ 改为菱形 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，其他条件不变，四边形 $\text{[math]}$ 的面积还是一个定值吗？若是，请求出四边形 $\text{[math]}$ 的面积；若不是，请说明理由．

(3) 拓展延伸

如图4，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

实践探究题困难

2. 已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC＝90°．

(1) 【初步探究】

如图1，延长CE交AD于点P．求证：△BEC∽△CDP；

(2) 【深入探究】

如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【延伸探究】

连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

(1) 【特例感知】

如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2) 【变式求异】

如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展应用】

如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\text{[math]}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

实践探究题困难